Permutaciones vs combinaciones: cómo saber cuál usar

Es la pregunta más común en análisis combinatorio: ¿esto es una permutación o una combinación? La respuesta siempre depende de una sola cosa — si el orden importa o no.

1. El criterio: ¿importa el orden?

Si cambiar el orden de los elementos elegidos genera un resultado distinto, es una permutación. Si el orden no cambia nada (solo importa qué elementos quedaron elegidos, no en qué secuencia), es una combinación.

Ejemplo clásico: elegir el 1°, 2° y 3° puesto de una carrera es una permutación (A-B-C es distinto de B-A-C). Elegir 3 personas al azar para un comité es una combinación (no importa el orden en que se las nombra, el grupo {A,B,C} es el mismo).

2. Fórmulas (sin repetición)

Permutación: P(n,r) = n! / (n − r)!

Combinación: C(n,r) = n! / (r!(n − r)!)

Notá que C(n,r) es simplemente P(n,r) dividido por r!: se divide por todas las formas de reordenar los r elementos elegidos, porque en una combinación esas reordenaciones ya no cuentan como distintas.

3. Ejemplo comparativo

De un grupo de 5 personas (A, B, C, D, E), se eligen 2:

• Permutaciones P(5,2) = 5!/(5-2)! = 20 (AB, BA, AC, CA, … cuentan distinto)
• Combinaciones C(5,2) = 20/2! = 10 (AB y BA son el mismo grupo)

4. ¿Y la repetición?

Además de si el orden importa, hay que preguntarse si un elemento puede elegirse más de una vez. Con repetición permitida:

Permutaciones con repetición: nʳ

Combinaciones con repetición: C(n + r − 1, r)

Ejemplo: una contraseña de 4 dígitos (0-9), donde los dígitos se pueden repetir y el orden importa, tiene 10⁴ = 10.000 posibilidades — permutación con repetición.

5. Tabla resumen