Cómo calcular el determinante y la matriz inversa paso a paso

El determinante y la matriz inversa son la base del álgebra lineal: se usan para resolver sistemas de ecuaciones, transformar coordenadas y analizar la estabilidad de sistemas. Esta guía muestra cómo calcularlos a mano en matrices 2×2 y 3×3.

1. Determinante de una matriz 2×2

Para A = [[a, b], [c, d]], el determinante es det(A) = ad − bc.

Ejemplo: A = [[3, 2], [1, 4]] → det(A) = (3)(4) − (2)(1) = 12 − 2 = 10.

2. Determinante de una matriz 3×3 (regla de Sarrus)

Se expande por cofactores a lo largo de la primera fila. Para A = [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]:

det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

Ejemplo con A = [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]:

1. 1 × (1×0 − 4×6) = 1 × (−24) = −24
2. −2 × (0×0 − 4×5) = −2 × (−20) = 40
3. 3 × (0×6 − 1×5) = 3 × (−5) = −15
4. det(A) = −24 + 40 − 15 = 1

3. Cuándo una matriz no tiene inversa

Si det(A) = 0, la matriz es singular y no tiene inversa: no existe una matriz que, multiplicada por A, dé la identidad.

4. Cómo calcular la inversa (matriz 2×2)

Para una matriz 2×2, la fórmula directa es:

A⁻¹ = (1 / det(A)) × [[d, −b], [−c, a]]

Con el ejemplo anterior (det = 10): A⁻¹ = (1/10) × [[4, −2], [−1, 3]] = [[0.4, −0.2], [−0.1, 0.3]].

5. Cómo calcular la inversa (matriz 3×3)

Para 3×3 el procedimiento tiene tres pasos: calcular la matriz de cofactores (el determinante de cada menor 2×2, con signo alternado), trasponerla para obtener la matriz adjunta, y dividir cada elemento por el determinante de A. Es un proceso largo a mano — para esto conviene verificar el resultado con la calculadora.

6. Errores comunes

• Olvidar alternar los signos al calcular cofactores (+, −, +, −...).
• Confundir la matriz de cofactores con la adjunta: la adjunta es la traspuesta de los cofactores.
• Intentar invertir una matriz con determinante 0.

7. Verificá tu resultado

Usá la calculadora de matrices 2×2 y 3×3 para verificar determinante, inversa, transpuesta y multiplicación sin errores de cálculo manual.